Cho hàm số \(y=\frac{1}{1+x+\ln x}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng?
\(xy=y'\left(y\ln x+1\right)\) \(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\) \(xy=y\left(y'\ln x-1\right)\) \(xy'=y\left(y\ln x+1\right)\) Hướng dẫn giải:- Ta có \(\left(1+x+\ln x\right)'=1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}\) nên \(y'=\dfrac{-\left(x+1\right)}{x\left(1+x+\ln x\right)^2}\)
\(\Rightarrow xy'=\dfrac{-\left(x+1\right)}{\left(1+x+\ln x\right)^2}=\dfrac{1}{1+x+\ln x}.\dfrac{-\left(1+x\right)}{1+x+\ln x}=y.\dfrac{\ln x-\left(1+x+\ln x\right)}{1+x+\ln x}\)
\(=\dfrac{1}{1+x+\ln x}\left(\dfrac{1}{1+x+\ln x}.\ln x-1\right)=y\left(y\ln x-1\right)\).
Đáp số: \(xy'=y\left(y\ln x-1\right)\)