Cho hàm số \(y=\sin\left(\ln x\right)+\cos\left(\ln x\right)\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng ?
\(xy"-x^2y'+y=0\) \(x^2y"-xy'-y=0\) \(x^2y"+xy'+y=0\) \(x^2y"-xy'-y=0\) Hướng dẫn giải:Có \(\left(\sin\ln x\right)'=\dfrac{1}{x}\cos\ln x,\left(\cos\ln x\right)'=-\dfrac{1}{x}\sin\ln x\) nên
\(y'=\dfrac{1}{x}\left(\cos\ln x-\sin\ln x\right)\Rightarrow xy'=\cos\ln x-\sin\ln x,x^2y'=x\cos\ln x-x\sin\ln x\)
\(y"=-\dfrac{1}{x^2}\left(\cos\ln x-\sin\ln x\right)+\dfrac{1}{x}\left(-\dfrac{1}{x}\sin\ln x-\dfrac{1}{x}\cos\ln x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\left(2\cos\ln x\right)\Rightarrow x^2y"=-2\cos\ln x,xy"=\dfrac{-2\cos\ln x}{x}\)
a) \(xy"-x^2y'+y=\dfrac{-2\cos\ln x}{x}-\left(x\cos\ln x-x\sin\ln x\right)+\left(\sin\ln x+\cos\ln x\right)\)\(=\left(-\dfrac{2}{x}-x+1\right)\cos\ln x+\left(x+1\right)\sin\ln x\ne0\)
b) \(x^2y"-xy'-y=\left(-2\cos\ln x\right)-\left(\cos\ln x-\sin\ln x\right)-\left(\sin\ln x+\cos\ln x\right)=-4\cos\ln x\ne0\)
c) \(x^2y"+xy'+y=\left(-2\cos\ln x\right)+\left(\cos\ln x-\sin\ln x\right)+\left(\sin\ln x+\cos\ln x\right)=0\)
d) \(x^2y"+xy'-y=\left(-2\cos\ln x\right)+\left(\cos\ln x-\sin\ln x\right)-\left(\sin\ln x+\cos\ln x\right)=-2\left(\cos\ln x+\sin\ln x\right)\ne0\)
Đáp số: \(x^2y"+xy'+y=0\)