Cho hàm số \(f\left(x\right)=\sin^35x.\cos^2\dfrac{x}{3}\). Tính \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\).\(-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).Hướng dẫn giải:- Đặt \(u=\sin^35x,v=\cos^2\dfrac{x}{3}\) thì \(f\left(x\right)=uv,f'\left(x\right)=u'v+uv'\)
- Tính \(u'\) và \(u'v\): \(u'=3\sin^25x.5\cos5x=15\sin^25x\cos5x\) và \(u'v=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}\).
- Tính \(v'\) và \(uv'\) : \(v'=2\cos\dfrac{x}{3}.-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac{1}{3}\sin\dfrac{2x}{3}\) và \(uv'=-\dfrac{1}{3}.\sin^35x.\sin\dfrac{2x}{3}\)
- Do đó \(f'\left(x\right)=15\sin^25x\cos5x\cos^2\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\sin^35x\sin\dfrac{2x}{3}\) .
Khi \(x=\dfrac{\pi}{2}\) thì \(5x=\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi\) , \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2x}{3}=\dfrac{\pi}{3}\) nên \(\sin5x=1,\cos5x=0,\cos\dfrac{x}{3}=\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Do đó \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
Đáp số: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)