Tìm giới hạn : \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}\) .
\(b-a\) \(a-b\) \(b+a\) \(0\) Hướng dẫn giải:Cách 1: Áp dụng công thức \(\lim_{t\rightarrow0}\frac{e^t-1}{t}=1\) (SGK Giải tích 12, trang 71) ta có
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left[a.\frac{e^{ax}-1}{ax}-b.\frac{e^{bx}-1}{bx}\right]=a-b\)
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT):
Xét \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-e^x}{x}\) (ứng với \(a=2,b=1\); bốn đáp số cần kiểm tra trở thành \(b-a=-1;a-b=1;a+b=3\) và \(0\)). Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-e^x}{x}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(e^{2x}-e^x\right)|_{x=0}.\) Máy tính cho kết quả \(1\) (ứng với đáp số \(a-b\)). Đáp số: \(a-b.\)