Với điều kiện nào của $m$ thì đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) tại bốn điểm phân biệt?
\(-\frac{7}{2}< m< 1\). \(-\frac{9}{2}< m< 0\). \(m>-\frac{7}{2}\). \(-\frac{7}{2}< m\le1\). Hướng dẫn giải:Hàm số đã cho là hàm chẵn (\(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)), đồ thị đối xứng qua trục tung. Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị hàm chẵn tại 4 điểm thì đường thẳng đó cắt nhánh ứng với x>0 tại hai điểm (chú ý không cắt tại điểm nằm trên trục tung vì như vậy số giao điểm sẽ lẻ). Ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3}\left|x\right|^3-\frac{3}{2}x^2+1\) ứng với \(x\ge0\) như sau:
Với \(x\ge0\) thì \(y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+1\).
\(y'=x^2-3x=x\left(x-3\right)\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Để đường thẳng \(y=m+1\) cắt đồ thị trên tại 2 điểm thì:
\(-\frac{7}{2}< m+1< 1\)
Hay là:
\(-\frac{9}{2}< m< 0\)