Hàm số \(y=\dfrac{\tan x-2}{m\tan x-2}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) khi
\(m\le-1\). \(-1\le m\le2\). \(1< m< 2\). \(1< m\le2\). Hướng dẫn giải:\(y'=\dfrac{\left(m\tan x-2\right)\dfrac{1}{\cos^2x}-\left(\tan x-2\right).m.\dfrac{1}{\cos^2x}}{\left(m\tan x-2\right)^2}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{\cos^2x\left(m\tan x-2\right)^2}\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) thì cần và đủ là hai điều kiện sau phải được thỏa mãn:
- Hàm số xác định trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\)
- \(y'>0\) với mọi \(x\in\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\)
Để hàm số xác đinh trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) ta xét 2 trường hợp:
TH1: m = 0, \(y=-\dfrac{1}{2}\left(\tan x-2\right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\), vậy m = 0 không thỏa mãn!
TH2: \(m\ne0\), khi đó \(y=\dfrac{\tan x-2}{m\left(\tan x-\dfrac{2}{m}\right)}\) .
Hàm số xác định với mọi \(x\in\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{m}\notin\left(0;1\right)\) vì \(\tan x\in\left(0;1\right),x\in\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) \(\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< 0\\0< m\le2\end{array}\right.\) (vì đang xét \(m\ne0\)). Kết hợp với điều kiện \(y'>0\) (tức là \(m>1\)) ta có: \(1< m\le2\).
Vậy điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) là \(1< m\le2\).