Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{\tan^3x-3\tan x}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\).
\(12\) \(-12\) \(24\) \(-24\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (biến đổi hàm) :
Có \(\tan^3x-3\tan x=\tan x\left(\tan x-\sqrt{3}\right)\left(\tan x+\sqrt{3}\right)=\tan x\left(\tan x-\tan\frac{\pi}{3}\right)\left(\tan x+\tan\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=\tan x.\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos x\cos\frac{\pi}{3}}.\frac{\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos x\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{4}{\cos^3x}.\sin x\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{4}{\cos^3x}.\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\)
và \(\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\) nên \(\frac{\tan^3x-3\tan x}{\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{4}{\cos^3x}\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) và giới hạn cần tính bằng \(\lim\limits_{x\rightarrow\frac{\pi}{3}}\frac{-4\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos^3x}=-32.\frac{3}{4}=-24.\)
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT): Giới hạn cần tính có dạng \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) với \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0.\) Để ý rằng với giả thiết này
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}}{\frac{g\left(x\right)-g\left(a\right)}{x-a}}=f'\left(a\right):g'\left(a\right).\) Do đó giới hạn cần tính bằng
\(\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\tan^3x-3\tan x\right)|_{x=\frac{\pi}{3}}\right):\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)|_{x=\frac{\pi}{3}}\right)\)
Bấm máy tính ta được kết quả là \(24:\left(-1\right)=-24.\)
Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ kết quả sau : Nếu hai hàm số \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) có đạo hàm tại \(x=a\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left(a\right)=g\left(a\right)=0;g'\left(a\right)\ne0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(a\right)}{g'\left(a\right)}.\) |
|
|
|
|