Tìm khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\frac{m}{n}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+x^2+....+x^n-n}{x-1}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}=\frac{n^2-n}{2}\) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^n-nx+n-1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (biến đổi hàm):
\(\frac{x^m-1}{x^n-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)}=\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1}{x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1}\) suy ra \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^m-1}{x^n-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1}{\text{}x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1}=\frac{m}{n}\)
\(\frac{x+x^2+....+x^n-n}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)+\left(x^2-1\right)+...+\left(x^n-1\right)}{x-1}=1+\left(x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)+...+\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)\) , suy ra \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+x^2+....+x^n-n}{x-1}=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1=\left(1+x\right)-1+\left(1+x\right)\left(\left(1+2x\right)-1\right)+\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(\left(1+3x\right)-1\right)+...+\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+\left(n-1\right)x\right)\left(\left(1+nx\right)-1\right)\) suy ra
\(\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}=1+\left(1+x\right)2+\left(1+x\right)\left(1+2x\right)3+...+\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+\left(n-1\right)x\right)n\). Do đó \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}=1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) (chứ không phải là \(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\))
\(\frac{x^n-nx+n-1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x^n-1\right)-n\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)-n}{x-1}=\)\(\frac{x^{n-1}-1}{x-1}+\frac{x^{n-2}-1}{x-1}+...+\frac{x-1}{x-1}=\left(x^{n-2}+...+x+1\right)+\left(x^{n-3}+...+x+1\right)+...+\left(x+1\right)+1\), suy ra \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^n-nx+n-1}{\left(x-1\right)^2}=\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+...+2+1=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\) . Câu sai là \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}=\frac{n^2-n}{2}\).
Cách 2 (Mẹo - dùng MTCT): Ta kiểm tra bốn khẳng định trong đề bài trong trường hợp cụ thể: với \(m=2;n=3.\) Xét trước ba khẳng định không chứa tham số \(n\):
- Khẳng định \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+x^2+....+x^n-n}{x-1}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) trở thành \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+x^2++x^3-3}{x-1}=6.\) Giới hạn này có dạng \(\frac{0}{0}\) và bằng \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x+x^2+x^3\right)|_{x=1}.\) Bấm máy tính thấy đạo hàm này đúng bằng \(6.\)
- Khẳng định \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)...\left(1+nx\right)-1}{x}=\frac{n^2-n}{2}\) trở thành \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)-1}{x}=3.\) Giới hạn này có dạng \(\frac{0}{0}\) và bằng \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)\right)|_{x=0}.\) Bấm máy nhậ được kết quả là \(6\) (khác với \(3\)) nên khẳng định đang xét là khẳng định sai cần tìm.
Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x+x^2++x^3-3}{x-1}\) | Tính \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x\right)\left(1+2x\right)\left(1+3x\right)-1}{x}\) |