Cho \(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{\left(1+\tan x\right)^5}{\cos^2x}\text{d}x=\frac{a}{b}\), trong đó \(a,b\) là hai số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
\(a< b\). \(ab=1\). \(a-10b=1\). \(a^2+b^2=1\). Hướng dẫn giải:\(\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{\left(1+\tan x\right)^5}{\cos^2x}\text{d}x=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(1+\tan x\right)^5\text{d}\left(1+\tan x\right)\) (vì \(\left(1+\tan x\right)'=\dfrac{1}{\cos^2x}\))
\(=\dfrac{1}{6}\left(1+\tan x\right)^6|^{\frac{\pi}{4}}_0\)
\(=\dfrac{1}{6}\left(2^6-1\right)=\dfrac{63}{6}=\dfrac{21}{2}\)
\(\Rightarrow a=21,b=2,a-10b=1.\)