Bài 2: Tích phân

Câu hỏi trắc nghiệm

Tích phân  \(\int\limits^e_0\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\text{d}x\) bằng

\(\dfrac{1}{\sqrt{e+1}+\sqrt{x}}-2\). \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{e+1}+\sqrt{x}}-1\right)\). \(\dfrac{2}{3}\left(\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}-1\right)\). \(\dfrac{2}{3}\left(\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}+1\right)\). Hướng dẫn giải:

Cách 1 (sử dụng MTCT): Hai đáp số có chứa biến \(x\) chắc chắn sai. Kiểm tra hai đáp số còn lại, tính tích phân cần tính bằng MTCT và ta lưu kết quả vào M. Nhập biểu thức \(\dfrac{2}{3}\left(\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}+1\right)-\text{M}\), bấm máy được kết quả khác \(0,\) đáp số \(\dfrac{2}{3}\left(\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}+1\right)\) không đúng. Đáp số còn lại \(\dfrac{2}{3}\left(\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}-1\right)\) là đáp số đúng.

Cách 2 (trục căn ở mẫu, biến đổi vi phân):

   \(\int\limits^e_0\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\text{d}x\)

     \(=\int\limits^e_0\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}\text{d}x\)

    \(=\int\limits^e_0\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\text{d}x\)

    \(=\int\limits^e_0\left[\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\right]\text{d}x\)

    \(=\int\limits^e_0\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(x+1\right)-\int\limits^e_0x^{\frac{1}{2}}\text{d}x\)

    \(=\left[\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}\left(x+1\right)^{1+\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}x^{1+\frac{1}{2}}\right]|^e_0\)

   \(=\left[\dfrac{2}{3}\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]|^e_0\)

   \(=\dfrac{2}{3}\left[\left(e+1\right)\sqrt{e+1}-e\sqrt{e}-1\right]\).

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN