Hàm số \(F\left(x\right)\) thỏa mãn các điều kiện: \(F'\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) , \(F(\pm1)=-\dfrac{1}{2}\) . Khẳng định nào sau đây đúng?
\(F\left(x\right)=1-\dfrac{1}{x^2}+C\). \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+\ln x+C\). \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+\ln x-1\). \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|-1\). Hướng dẫn giải:Ta có \(F\left(x\right)=\int F'\left(x\right)\text{dx}=\int\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\text{dx}=\dfrac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+C.\)
Điều kiện \(F\left(\pm1\right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\pm1\right)^2}{2}+C=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow C=-1\). Vì vậy \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+-1\).
Từ điều kiện \(F(\pm1)=-\dfrac{1}{2}\) suy ra \(C_1=C_2=-1\).
Vậy \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+-1\) .
Chú ý: \(\left(\ln\left|x\right|\right)'=\frac{1}{x}\) nên \(F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}+\ln\left|x\right|+C\) thì \(F'\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\).