Cho ba điểm \(A\left(-1;2;3\right),B\left(-2;1;1\right),C\left(5;0;0\right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AB\). Tọa độ của \(H\) là
\(\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) \(\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) \(\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) \(\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) Hướng dẫn giải:\(A\left(-1;2;3\right),B\left(-2;1;1\right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}\left(-1;-1;-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}\left(1;1;2\right)\). Đường thẳng \(AB\) qua \(B\left(-2;1;1\right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(1;1;2\right)\) nên có phương trình tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+t\\y=1+t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\). Khử \(t\) từ hệ này ta có \(x+y-z+2=0\)(1) nên các điểm thuộc đường thẳng \(AB\) có tọa độ thỏa mãn (1). Do đó nếu \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AB\) thì \(H\in AB,\) suy ra tọa độ \(H\) phải thỏa mãn (1). Dùng MTCT (chức năng CALC) tính giá trị biểu thức \(A+B-C+2\), ta được bảng
Phương án trả lời: Tọa độ \(H\) là | Giá trị của \(x+y-z+2\) là | Kết luận |
\(\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) | \(\frac{22}{3}\ne0\) | Loại |
\(\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};-\frac{7}{3}\right)\) | \(\frac{4}{3}\ne0\) | Loại |
\(\left(-\frac{4}{3};-\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) | \(-\frac{10}{3}\ne0\) | Loại |
\(\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) | \(0\) |
Đáp số đúng chỉ có thể là \(\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\). Dễ kiểm tra nếu \(H\) có tọa độ \(\left(-\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)\) thì \(H\in AB\) và \(CH\perp AB\) nên \(H\) là hình chiéu của \(C\) lên \(AB\)