Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+5y+z-10=0\) và \(\left(\beta\right):2x+y-z+1=0\).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua điểm \(M\left(3;-2;1\right)\) và chứa các điểm chung của \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) là
\(3x+3y-z-2=0\) \(3x+3y+z-2=0\) \(9x+9y-14z-6=0\) \(3x-3y+z+2=0\) Hướng dẫn giải:(P) chứa các điểm chung của \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) nên (P) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\).
Dễ thấy \(M\left(3;-2;1\right)\notin\left(\alpha\right)\) nhưng theo giả thiết (P) phải chứa \(M\left(3;-2;1\right)\) nên \(\left(P\right)\ne\left(\alpha\right)\). Từ đó \(\left(\alpha\right)\)có phương trình dạng
\(m\left(x+5y+z-10\right)+\left(2x+y-z+1\right)=0\)
Điều kiện (P) chứa điểm \(M\left(3;-2;1\right)\) tương đương với
\(m\left(3+5.\left(-2\right)+1-10\right)+\left(2.3-2-1+1\right)=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}.\)
Vậy phương trình (P) là \(\frac{1}{4}\left(x+5y+z-10\right)+\left(2x+y-z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow9x+9y-3z-6=0\Leftrightarrow3x+3y-z-2=0.\)