Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left(4;0;1\right);B\left(2;-1;3\right):C\left(-10;5;3\right)\). Độ dài đoạn phân giác trong góc \(A\) là :
\(2\sqrt{5}\) \(5\sqrt{2}\) \(2\sqrt{3}\) \(3\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải:Từ tọa độ \(A,B,C\) đã cho ta tính được \(AB=\sqrt{4+1+4}=3;AC=\sqrt{196+25+4}=15.\) Gọi \(D\) là chân đường phân giác trong \(AD\) thì \(D\) chia trong đoạn \(BC\) theo tỉ số \(k=-\dfrac{AB}{AC}=-\dfrac{3}{15}=-\dfrac{1}{5}.\) Từ đó \(D\) có tọa độ
\(x=\dfrac{x_B-kx_C}{1-k}=\dfrac{2+\dfrac{1}{5}.\left(-10\right)}{1+\dfrac{1}{5}}=0;\) \(y=\dfrac{y_B-ky_C}{1-k}=\dfrac{-1+\dfrac{1}{5}.5}{1+\dfrac{1}{5}}=0;\) \(x=\dfrac{z_B-kz_C}{1-k}=\dfrac{3+\dfrac{1}{5}.3}{1+\dfrac{1}{5}}3.\)
Vậy caahn đường phân giác trong góc \(A\) của tam giác \(ABC\) là điểm \(D\left(0;0;3\right).\) Độ dài phân giác trong này là
\(l=DA=\sqrt{4^2+0^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}.\)