Cho d là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(1;2;3\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right):4x+3y-7z+1=0\).
Phương trình tham số của d là
\(\begin{cases}x=-1+4t\\y=-2+3t\\z=-3-7t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1+4t\\y=2+3t\\z=3-7t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=1+3t\\y=2-4t\\z=3-7t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=-1+8t\\y=-2+6t\\z=-3-14t\end{cases}\) Hướng dẫn giải:\(\left(\alpha\right):4x+3y-7z+1=0\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(4;3;-7\right)\).
Đường thẳng d đi qua \(A\left(1;2;3\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(4;3;-7\right)\) làm vecto chỉ phương.
Phương trình tham số của d là \(\begin{cases}x=1+4t\\y=2+3t\\z=3-7t\end{cases}\).
Chú ý: Nếu đề bài được sửa thành
Cho d là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(1;2;3\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right):4x+3y-7z+1=0\). Phương trình tham số của d là (A): \(\begin{cases}x=-1+4t\\y=-2+3t\\z=-3-7t\end{cases}\) (B): \(\begin{cases}x=5+4t\\y=5+3t\\z=-4-7t\end{cases}\) (C): \(\begin{cases}x=1+3t\\y=2-4t\\z=3-7t\end{cases}\) (D): \(\begin{cases}x=-1+8t\\y=-2+6t\\z=-3-14t\end{cases}\) |
Giải như trên ta thấy trong cả 4 đáp số trên, không có đáp số nào trùng với phương trình (1) \(\begin{cases}x=1+4t\\y=2+3t\\z=3-7t\end{cases}\)
tuy nhiên không thể kết luận rằng cả 4 đáp số đều sai vì thực ra đáp số \(\begin{cases}x=5+4t\\y=5+3t\\z=-4-7t\end{cases}\) cũng đúng. Thật vậy, trong (1), cho \(t=1\)ta được \(A'\left(5;5;-4\right)\) là một điểm thuộc d. Đường thẳng d qua \(A'\left(5;5;-4\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{n}=\left(4;3;-7\right)\) nên có phương trình \(\begin{cases}x=5+4t\\y=5+3t\\z=-4-7t\end{cases}\). Vậy (B) là đáp số đúng. Vì vậy cách giải chuẩn nhất phải là LẦN LƯỢT KIỂM TRA TỪNG ĐƯỜNG THẲNG VỚI PHƯƠNG TRÌNH (A), (B), (C), (D) CÓ THỎA MÃN HAI ĐIỀU KIỆN: CÓ VECTO CHỈ PHƯƠNG CÙNG PHƯƠNG VỚI \(\overrightarrow{n}=\left(4;3;-7\right)\) VÀ CÓ CHỨA ĐIỂM \(A\left(1;2;3\right)\) HAY KHÔNG.