Cho đường tròn \(\left(d\right):2x-y+2=0\) và điểm A(5;-6).Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d).
\(A'\left(-\frac{31}{5};\frac{2}{5}\right)\) \(A'\left(\dfrac{47}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\) \(A'\left(-\dfrac{47}{5};\dfrac{6}{5}\right)\) \(A'\left(-\frac{31}{5};-\frac{2}{5}\right)\)Hướng dẫn giải:
Vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)\) của (d) là vecto chỉ phương của đường thẳng (d') qua A(5;-6) và vuông góc với (d). Vì vậy (d') có phương trình tham số
\(\left\{{}\begin{matrix}x=5+2t\\y=-6-t\end{matrix}\right.\)
Thế các biểu thức này vào phương trình của (d) ta được phương trình tham số xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A xuống (d):
\(2\left(5+2t\right)-\left(-6-t\right)+2=0\)\(\Leftrightarrow5t+18=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{18}{5}\)
\(H\left(-\dfrac{11}{5};-\dfrac{12}{5}\right)\) là hình chiếu vuông góc của A xuống (d).
A' đối xứng với A qua (d) khi và chỉ khi H là trung điểm AA' hay tọa độ (x;y) của A' thỏa mãn hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+x_A}{2}=x_H\\\dfrac{y+y_A}{2}=y_H\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+5}{2}=-\dfrac{11}{5}\\\dfrac{y-6}{2}=-\dfrac{12}{5}\end{matrix}\right.\)
Đáp số : \(A'\left(-\dfrac{47}{5};\dfrac{6}{5}\right)\)