Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh như sau: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0 ; 0; 1) và D(1 ; 1; 1).
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).\(\sqrt{2}\).\(\sqrt{3}\).\(\dfrac{3}{4}\).Hướng dẫn giải:Giả sử tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là I(x ; y ; z), ta có:
IA = IB = IC = ID
\(\Leftrightarrow\begin{cases}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\\IA^2=ID^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=x^2+\left(y-1\right)^2+z^2\\\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(z-1\right)^2\\\left(x-1\right)^2+y^2+z^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x=z\\y+z=1\end{cases}\)
\(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là \(I\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) và bán kính là
\(IA=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)