Cho \(A\left(2;2\right);B\left(5;1\right)\) và đường thẳng \(\left(\Delta\right):x-2y+8=0\). Tìm tọa độ điểm \(C\in\left(\Delta\right)\), C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 đơn vị diện tích.
\(C\left(10;12\right)\) \(C\left(12;10\right)\) \(C\left(8;8\right)\) \(C\left(10;8\right)\) Hướng dẫn giải:Đường thẳng AB qua điểm \(A\left(2;2\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(3;-1\right)\), vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;3\right)\) nên có phương trình \(1\left(x-2\right)+3.\left(y-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x+3y-8=0\).
Viết lại phương trình \(\left(\Delta\right)\) dưới dạng tham số : \(\left\{{}\begin{matrix}x=-8+2t\\y=t\end{matrix}\right.\).
Xét điểm \(C\left(-8+2t;t\right)\in\left(\Delta\right)\) . Điều kiện C có hoành độ dương: \(-8+2t>0\Leftrightarrow t>4\). Khoảng cách từ C tới đường thẳng AB là \(h=\dfrac{\left|\left(-8+2t\right)+3t-8\right|}{\sqrt{10}}\) .
Tam giác CAB có diện tích \(S=\dfrac{1}{2}.\left|\overrightarrow{AB}\right|.h=\dfrac{1}{2}.\sqrt{10}.\dfrac{\left|5t-16\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|5t-16\right|}{2}\). Tam giác ABC sẽ có diện tích bằng 17 khi \(\left|5t-16\right|=34\Leftrightarrow\)\(t=10;t=-\dfrac{18}{5}\). Đối chiếu điều kiện \(t>4\) ta được
\(t=10\) và \(C\left(12;10\right)\)