Cho tam giác ABC với ba đỉnh \(A\left(-5;6\right);B\left(-4;-1\right);C\left(4;-3\right)\) . Viết phương trình đường phân giác trong của góc A .
\(x+2y-4=0\) \(2x-y+4=0\) \(2x+y+4=0\) \(x-2y-4=0\) Hướng dẫn giải:Đường phân giác trong của góc A phải đi qua điểm \(A\left(-5;6\right)\). Thử trực tiếp, dễ thấy điểm \(A\left(-5;6\right)\) không nằm trên các đường thẳng \(x+2y-4=0\) ,
\(2x-y+4=0\), \(x-2y-4=0\). Do đó, đáp số đúng chỉ có thể là \(2x+y+4=0\).
Có thể kiểm tra được rằng \(2x+y+4=0\) là đáp số đúng như sau (trong phòng thi hs không cần làm điều này):
Từ các tọa độ đã cho của A, B, C, ta tính được \(AB=\sqrt[]{1^2+7^2}=5\sqrt{2};AC=\sqrt{9^2+9^2}=9\sqrt{2};\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{9}\). Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: chân D của đường phân giác trong chia trong cạnh tam giác theo tỷ số hai cạnh kề của góc, như vậy \(\overrightarrow{BD}=-\dfrac{CA}{BA}.\overrightarrow{CD}\) . Do đó D có tọa độ thỏa mãn phương trình
\(\left(x+4;y+1\right)=-\dfrac{5}{9}.\left(x-4;y+3\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x+36;9y+9\right)=\left(-5x+20;-5y-15\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x=-\dfrac{8}{7};y=-\dfrac{12}{7}\right)\). Vậy \(D\left(-\dfrac{8}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\).
Đường phân giác trong của góc A chính là đường thẳng qua \(A\left(-5;6\right)\) và \(D\left(-\dfrac{8}{7};-\dfrac{12}{7}\right)\). Vecto chỉ phương của đường thẳng này là \(\overrightarrow{AD}\left(\dfrac{27}{7};-\dfrac{54}{7}\right)=\dfrac{27}{7}.\left(1;-2\right)\), đường phân giác góc A đi qua \(A\left(-5;6\right)\) , có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;1\right)\) và có phương trình \(2\left(x+5\right)+1.\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y+4=0\)
Đáp số: \(2x+y+4=0\)