Cho tam giác ABC có A(-1;3), đường cao BB' : \(x-y=0\); đường phân giác trong góc C : \(x+3y+2=0\). Hãy viết phương trình đường thẳng BC.
\(x+7y-18=0\) \(x-7y+18=0\) \(x+7y+18=0\) \(x-7y-18=0\) Hướng dẫn giải:
Đường thẳng AC vuông góc với đường cao BB': \(x-y=0\) nên AC có phương trình dạng \(x+y+\alpha=0\). Tọa độ \(A\left(-1;3\right)\) phải thỏa mãn phương trình này nên
\(-1+3+\alpha=0\Rightarrow\alpha=-2\). Do đó AC: \(x+y-2=0\). Đỉnh C là giao điểm của AC với đường phân giác trong góc C nên C có tọa độ thỏa mãn hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x+3y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-2\end{matrix}\right.\). Do đó \(C\left(4;-2\right)\).
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc C thì A' thuộc đường thẳng CB, do đó đường thẳng BC chính là đường thẳng qua C và A'.
Vì AA' qua \(A\left(-1;3\right)\), vuông góc với phân giác \(x+3y+2=0\) nên AA' có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=3+3t\end{matrix}\right.\). Thế các phương trình này vào phương trình \(x+3y+2=0\)ta được \(\left(-1+t\right)+3\left(3+3t\right)+2=0\Leftrightarrow t=-1\), do đó hình chiếu vuông góc của A xuống phân giác trong góc C là \(H\left(-2;0\right)\). Tọa độ A' thảo mãn phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+x_A}{2}=x_H\\\dfrac{y+y_A}{2}=y_H\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=-2\\\dfrac{y+3}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x=-3;y=-3\right)\)
Do đó đường thẳng BC qua \(C\left(4;-2\right)\) và \(A'\left(-3;-3\right)\) , vecto chỉ phương \(\overrightarrow{Á'C}\left(7;1\right)\), vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(1;-7\right)\) và phương trình tổng quát là
\(1.\left(x+3\right)-7.\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow x-7y-18=0\)