Trong hệ tọa độ Oxyz cho \(\Delta:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}\). Xác định điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M tới d bằng OM.
\(M_1\left(-1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\) \(M_1\left(1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\) \(M_1\left(0;-1;0\right),M_2\left(0;2;0\right)\) \(M_1\left(-2;0;0\right),M_2\left(1;0;0\right)\) Hướng dẫn giải: \(M\in\) Ox \(\Rightarrow M\left(m;0;0\right)\left(m\in R\right)\) . Suy ra OM = | m |.
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua N (0 ; 1; 0) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left(2;1;2\right)\).
\(\Rightarrow\overrightarrow{NM}=\left(m;-1;0\right)\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&2\\-1&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&2\\0&m\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\m&-1\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(2;2m;-2-m\right)\)
(chú ý: độ dài của vecto \(\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]\) bằng diện tích hình bình hành tạo bởi \(\overrightarrow{a}\) và vecto \(\overrightarrow{NM}\), nếu chia độ dài vecto tích có hướng này cho 1 cạnh của hình hành là \(\left|\overrightarrow{a}\right|\) thì sẽ được chiều cao hạ từ M xuống \(\overrightarrow{a}\)).
Ta có: \(d\left(M,\Delta\right)=OM\Leftrightarrow\frac{\left|\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{NM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\left|m\right|\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2^2+\left(2m\right)^2+\left(-2-m\right)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\left|m\right|\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5m^2+4m+8}}{3}=\left|m\right|\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\)
\(m=-1\) hoặc \(m=2\)
Vậy \(M_1\left(-1;0;0\right),M_2\left(2;0;0\right)\)