Cho mặt phẳng (P) : 3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng:
\(\left(\alpha\right):x-2y+1=0\) và: \(\left(\beta\right):x-2z-3=0\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
\(\varphi=30^o\) \(\varphi=45^o\) \(\varphi=60^o\) \(\varphi=90^o\) Hướng dẫn giải:Giao tuyến d của hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) là tập các điểm M(x;y;z) thỏa mãn hệ:
\(\begin{cases}x-2y+1=0\\x-2z-3=0\end{cases}\)
Đặt x = t rồi biểu diễn y, z qua t ta được phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến d là:
\(\begin{cases}x=t\\y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\z=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\end{cases}\)
=> Vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow{u_d}=\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)=\left(2;1;1\right)\)
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là \(\phi\) thì:
\(\sin\phi=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_P}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_P}\right|}\)
\(=\frac{\left|3.2+4.1+5.1\right|}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Vậy \(\varphi=60^o.\)