Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz cho \(\Delta:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}\) và cho \(A\left(1;2;-1\right)\), \(B\left(3;-1;-5\right)\).
Viết phương trình đường thẳng \(l\) đi qua \(A\) cắt \(\Delta\) sao cho khoảng cách từ \(B\) tới \(l\) lớn nhất.
Giả sử \(l\) cắt \(\Delta\) tại \(M.\) Vì \(M\in\Delta\) nên \(M\left(-1+2t;3t;-1-t\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}\left(-2+2t;3t-2;-t\right)\).
Ta có \(\overrightarrow{AB}\left(2;-3;-4\right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(l\). Như vậy khoảng cách từ \(B\) tới \(l\) là
\(d\left(B,l\right)=BH\le BA.\)
\(\max d\left(B,l\right)=BA\) đạt khi \(H\equiv A\Leftrightarrow AM\perp AB\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(-2+2t\right)-3\left(3t-2\right)+4t=0\)\(\Leftrightarrow t=2\).
Khi đó \(M\left(3;6;-3\right).\) Đường thẳng \(l\) qua \(A\left(1;2;-1\right)\) và \(M\left(3;6;-3\right)\) nên có phương trình
\(\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{6-2}=\frac{z+1}{-3+1}\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+1}{-2}\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{-1}\).