Tìm điểm đối xứng của \(A\left(-2;3;-4\right)\) qua đường thẳng \(d:\) \(\frac{x+2}{-3}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{1}\).
\(B\left(4;-3;2\right)\) \(B\left(1;1;1\right)\) \(B\left(4;3;2\right)\) \(B\left(1;-3;2\right)\) Hướng dẫn giải:Viết lại phương trình của \(d\) dưới dạng tham số \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2-3t\\y=-2-2t\\z=t\end{matrix}\right.\).
\(B\) đối xứng với \(A\) qua \(d\) khi và chỉ khi trung điểm \(E\) của đoạn \(AB\) phải nằm trên \(d\) và \(AB\perp d\)
\(\Leftrightarrow\) Trung điểm \(E\) của đoạn \(AB\) phải có tọa độ thỏa mãn phương trình \(d\) và \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\) ( \(\overrightarrow{u}\left(-3;-2;1\right)\) là vectơ chỉ phương của \(d\)).
Với \(A\left(-2;3;-4\right)\), sử dụng MTCT dễ dàng lập bảng sau
Đáp số | Tọa độ \(E\) | \(\frac{z}{1}\) | \(\frac{y+2}{-2}\) | \(\frac{x+2}{-3}\) | Kết luận |
\(B\left(1;1;1\right)\) | \(\left(-\frac{1}{2};2;-\frac{3}{2}\right)\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-2\) | \(\frac{z}{1}\ne\frac{y+2}{-2}\), loại | |
\(B\left(4;3;2\right)\) | \(\left(1;3;-1\right)\) | \(-1\) | \(-\frac{5}{2}\) | \(\frac{z}{1}\ne\frac{y+2}{-2}\), loại | |
\(B\left(1;-3;2\right)\) | \(\left(-\frac{1}{2};0;-1\right)\) | \(-1\) | \(-1\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{y+2}{-2}\ne\frac{x+2}{-3}\), loại |
\(B\left(4;-3;2\right)\) | \(\left(1;0;-1\right)\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) | \(E\in d,\)\(\overrightarrow{AB}\left(6;-6;6\right),\)\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\). Thỏa mãn |
Đáp số đúng là \(B\left(4;-3;2\right)\).