Cho hàm số \(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}\) có đồ thị (C). Mệnh đề nào sai ?
(C) có tâm đối xứng là I(-4;-5). Tích số các khoảng cách từ \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(C\right)\) đến hai tiệm cận (C) bằng \(3\sqrt{2}\). Tích \(y_{CĐ}.y_{CT}=1\). Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right)\in\left(C\right):x-3y+3=0\). Hướng dẫn giải:\(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}=x-1+\frac{6}{x+4}\Rightarrow\left(C\right)\) có tiệm cận đứng \(x+4=0\); tiệm cận xiên \(y=x-1\)
\(y'=\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)^2}\)
* Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_{1,}x_2\) và \(x_1+x_2=-8;x_1.x_2=10\)
* Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C) : I(-4;-5)
* Xét điểm \(M\left(x_0;x_0-1+\frac{6}{x_0+4}\right)\in\left(C\right)\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : \(\left|t_1\right|=\left|x_0+4\right|\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên : \(\left|t_2\right|=\frac{\left|x_0-x_0+1-\frac{6}{x_0+4}-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}\left|x_0+4\right|}\)
\(\left|t_1\right|.\left|t_2\right|=\left|x_0+4\right|.\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
Ta có nhận xét: giá trị \(y=\frac{u}{v}\) tại các điểm cực trị là \(y_{ct,cđ}=\frac{u'}{v'}\) . Thật vậy, tại các điểm cực trị thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay \(v.u'=u.v'\), hay \(v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y=\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\).
\(\frac{u'}{v'}=2x+3\Rightarrow y_{CĐ}=2x_1+3y_{CT}=2x_2+3\)
\(y_{CĐ}.y_{CT}=\left(2x_1+3\right)\left(2x_2+3\right)=4x_1x_2+6\left(x_1+x_2\right)+9\)
\(=4.10+6.\left(-8\right)+9=1\)
A, B, C đều đúng
Vậy (D) sai
Phương pháp tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right);y'_{-1}=\frac{1-8+10}{\left(-1+4\right)^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
\(y=\frac{1}{3}\left(x+1\right)\Leftrightarrow x-3y+1=0\)