Cho hàm số \(y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3\).
Để đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung , điều kiện cần và đủ là
\(1< m< 2\). \(2< m< 3\). \(-2< m< -1\). \(-3< m< -2\). Hướng dẫn giải:\(y=x^3-\left(3m+1\right)x^2+\left(m^2+3m+2\right)x+3\)
\(y'=3x^2-2\left(3m+1\right)x+m^2+3m+2=g\left(x\right)\)
Để hàm số có cả cực đại và cực tiểu thì điều kiện cần và đủ là \(\Delta'=(3m+1)^2-3(m^2+3m+2)>0\)
\(\Leftrightarrow 6m^2-3m-5>0\) (1)
Hai điểm cực trị của đồ thị nằm hai phía trục tung khi và chỉ khi tam thức bậc hai \(g\left(x\right)\) có 2 nghiệm trái dấu tức là \(3.g\left(0\right)< 0\) , hay là \(3.\left(m^2+3m+2\right)< 0\)\(\Leftrightarrow m^2+3m+2< 0\) \(\Leftrightarrow-2< m< -1\) (thỏa mãn điều kiện (1)).
Đáp sô: \(-2< m< -1\).