Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) sao cho hàm số \(y=\dfrac{-x^2+2x+a}{x-3}\) có giá trị cực tiểu \(m\) và giá trị cực đại \(M\) thỏa mãn \(m-M=4\)?
\(a=1\). \(a=2\). \(a=-1\). \(a=-2\). Hướng dẫn giải:\(y=\dfrac{-x^2+2x+a}{x-3}\Rightarrow y'=\dfrac{-x^2+6x-6-a}{\left(x-3\right)^2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow-x^2+6x-6-a=0\)
Tam thức này có \(\Delta'=3-a\)
Khi \(\Delta>0\), phương trình \(-x^2+6x-6-a=0\) có 2 nghiệm \(x_m< x_n\) và \(x_n-x_m=2\sqrt{3-a}\)
Ta có nhận xét: giá trị \(y=\frac{u}{v}\) tại các điểm cực trị là \(y_{ct,cđ}=\frac{u'}{v'}\) . Thật vậy, tại các điểm cực trị thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay \(v.u'=u.v'\), hay \(v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y=\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\).
Đối với bài toán đang xét, có
\(\dfrac{u'}{v'}=-2x+2\Rightarrow m=-2x_m+2;M=-2x_n+2\)
\(m-M=-2\left(x_m-x_n\right)=2\left(x_n-x_m\right)=4\sqrt{3-a}\)
\(m-M=4\Leftrightarrow4\sqrt{3-a}=4\Leftrightarrow\sqrt{3-a}=1\) \(\Leftrightarrow a=2\) Giá trị này thỏa mãn \(\Delta>0\)
Đáp số: \(a=2\)