Cho hàm số \(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}\) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây sai?
Tâm đối xứng của (C) : \(I\left(-4;-5\right)\). Tích số khoảng cách từ một điểm \(M\in\left(C\right)\) đến hai tiệm cận bằng \(3\sqrt{2}\). Tích số : \(y_{CĐ}.y_{CT}=1\). Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left(-1;0\right)\in\left(C\right):x-3y+3=0\). Hướng dẫn giải:\(y=\frac{x^2+3x+2}{x+4}=x-1+\frac{6}{x+4}\)
Tiệm cận đứng \(x+4=0\)
Tiệm cận xiên \(y=x-1\)
\(y'=\frac{x^2+8x+10}{\left(x+4\right)^2}\). Phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm \(x_1+x_2=-8;x_1.x_2=10\)
Giao điểm tiệm cận là tâm đối xứng của (C) : \(I\left(-4;-5\right)\)
\(M\left(x_0;x_0-1+\frac{6}{x_0+4}\right)\in\left(C\right)\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : \(\left|t_1\right|=\left|x_0+4\right|\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên : \(\left|t_2\right|=\frac{\left|x_0-x_0+1-\frac{6}{x_0+4}-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}\left|x_0+4\right|}\)
\(\Rightarrow\left|t_1\right|.\left|t_2\right|=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\).
Ta có nhận xét: giá trị \(y=\frac{u}{v}\) tại các điểm cực trị là \(y_{ct,cđ}=\frac{u'}{v'}\) . Thật vậy, tại các điểm cực trị thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay \(v.u'=u.v'\), hay \(v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y=\frac{u}{v}=\frac{u'}{v'}\).
Vì \(\frac{u'}{v'}=2x+3\Rightarrow y_{CĐ}=2x_1+3\)
\(y_{CT}=2x_2+3\)
\(y_{CĐ}.y_{CT}=4x_1x_2+6\left(x_1+x_2\right)+9=4.10+6\left(-8\right)+9=1\).