Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{\left(m-1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m+4}{m\left(x+1\right)}\).
Để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau, điều kiện cần và đủ là
\(-\dfrac{1}{4}< m< 1\). \(m< -\dfrac{1}{4}\) hay \(m>1\). \(-1< m< \dfrac{1}{4}\). \(m>1\). Hướng dẫn giải:
\(y=f\left(x\right)=\dfrac{\left(m-1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m+4}{m\left(x+1\right)}\)
\(\Rightarrow y'=\dfrac{\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-\left(3m+2\right)}{m\left(x+1\right)}\)
Với \(m\ne1;m\ne0\) \(y'=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-\left(3m+2\right)=0\) (*)
Tam thức ở vế trái có : \(\Delta'=4m^2-3m-1\)
Để $y$ có cực đại và cực tiểu thì cần và đủ là \(m< -\dfrac{1}{4}\) hay \(m>1\) (1)
Ta có nhận xét, tại các điểm cực trị của hàm \(y=\frac{u}{v}\) thì \(y'=\frac{v.u'-u.v'}{v^2}=0\), hay là \(v.u'=u.v'\Rightarrow v=\frac{u.v'}{u'}\), khi đó \(y_{ct,cđ}=\frac{u}{v}=\frac{u.u'}{u.v'}=\frac{u'}{v'}\).
Đối với bài toán này:
\(\frac{u'}{v'}=\frac{2\left(m-1\right)x-2\left(m-1\right)}{m}=\frac{2\left(m-1\right)\left(x-1\right)}{m}\)
\(y_{CĐ}=\frac{2\left(m-1\right)\left(x_{CĐ}-1\right)}{m}\)
\(y_{CT}=\frac{2\left(m-1\right)\left(x_{CT}-1\right)}{m}\)
\(y_{CĐ}.y_{CT}=\frac{4\left(m-1\right)^2}{m^2}\left[x_{CĐ}.x_{CT}-\left(x_{CĐ}+x_{CT}\right)+1\right]\)
Từ (*) có \(x_{CĐ}+x_{CT}=-2;x_{CĐ}.x_{CT}=\dfrac{-\left(3m+2\right)}{m-1}\)
\(\Rightarrow y_{CĐ}.y_{CT}=\frac{4\left(m-1\right)^2}{m^2}\left[\frac{-\left(3m+2\right)}{m-1}+3\right]=\frac{4\left(m-1\right)^2}{m^2}\frac{\left(-5\right)}{\left(m-1\right)}\)
\(y_{CĐ}.y_{CT}< 0\Leftrightarrow-5\left(m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m-1>0\)
\(\Leftrightarrow m>1\) (thỏa mãn (1))