Cho hàm số \(y=x^3+3x^2+3x+1\) có đồ thị (C). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
Hàm số tăng trên \(\mathbb{R}\).Trên (C), tồn tại hai điểm \(A\left(x_1;y_1\right);B\left(x_2;y_2\right)\) sao cho 2 tiếp tuyến của (C) tại A và B vuông góc với nhau.(C) chỉ cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C) là trục \(Ox:y=0\).Hướng dẫn giải:\(y=x^3+3x^2+3x+1=\left(x+1\right)^3\)
\(y'=3\left(x+1\right)^2;y''=6\left(x+1\right)\Rightarrow\) Hàm số luôn tăng trên \(\mathbb{R}\).
\(\Rightarrow\) Hàm số cắt trục hoành $Ox$ tại một điểm duy nhất.
Điểm uốn của (C) là điểm có hoành độ $x=-1$ (tại đó $y'=0$ và $y''$ đổi dấu) và tung độ $y=(-1)^3+3.(-1)^2+3.(-1)+1=0$. Suy ra tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn là $y=0$, hay là trục $Ox$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A : \(k_1=3\left(x_A+1\right)^2\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B : \(k_2=3\left(x_B+1\right)^2\).
Ta có: \(k_1.k_2=9\left(x_A+1\right)^2.\left(x_B+1\right)^2\ge0\)
Ta thấy tích $k_1 . k_2 = 0$ khi và chỉ khi $x_A=-1$ ($A$ là điểm uốn) hoặc $x_B=-1$ ($B$ là điểm uốn). Nếu $A$ hoặc $B$ là điểm uốn thì tiếp tuyến tại đó song song với trục hoành. Trên đồ thì không có điểm nào có tiếp tuyến vuông góc với trục hoành.