Cho hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}-\left(m-2\right)x^2+\left(4m-8\right)x+m+1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đạt cực trị tại các điểm \(x_1,x_2\), thoả mãn \(x_1< -2< x_2\) ?
\(m< 2\) hay \(m>6\). \(2< m< 6\). \(\dfrac{3}{2}< m< 2\). \(m< \frac{3}{2}\). Hướng dẫn giải:\(y=\dfrac{x^3}{3}-\left(m-2\right)x^2+\left(4m-8\right)x+m+1\)
\(\Rightarrow y'=x^2-2\left(m-2\right)x+4m-8\)
Hàm số sẽ đạt cực trị tại hai điểm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_1< -2< x_2\) khi và chỉ khi tam thức bậc hai \(y'\) có 2 nghiệm phân biệt và số \(-2\) nằm trong khoảng hai nghiệm đó, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(1.y'\left(-2\right)< 0\Leftrightarrow8m-12< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}.\)
Chú ý: Định lí về dấu tam thức bậc hai có định lí đảo phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) có hai nghiệm phân biệt và khoảng giữa hai nghiệm này chứa số \(\alpha\) là \(af\left(\alpha\right)< 0.\)