Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-mx+m+2}{-x+m+1}\). Để hàm số nghịch biến trong khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) thì giá trị của tham số \(m\) là
\(4-3\sqrt{2}< m< 4+3\sqrt{2}\). \(m\le4-3\sqrt{2}\). \(m< 1\). \(m\ge4+3\sqrt{2}\). Hướng dẫn giải:\(y=\frac{2x^2-mx+m+2}{-x+m+1}\)
\(y'=\frac{-2x^2+4\left(m+1\right)x-m^2+2}{\left(-x+m+1\right)^2}\)
Dấu \(y'\) là dấu của tam thức bậc hai : \(g\left(x\right)=-2x^2+4\left(m+1\right)x-m^2+2\)
Tam thức này có \(\Delta'=4\left(m^2+2m+1\right)-2m^2+4=2\left(m+2\right)^2\ge0\) với mọi m
* \(m=-2\) thì \(y=\frac{2x^2+2x}{-x-1}=-2x\) nghịch biến với mọi x
* \(m\ne-2\) thì \(g\left(x\right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
Để \(g\left(x\right)\le0\), với mọi \(x\in\left(2;+\infty\right)\) thì
\(\begin{cases}-2.g\left(2\right)\ge0\\\frac{S}{2}-2< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2-8m-2\ge0\\m-1< 0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m\le4-3\sqrt{2}\).