Cho hàm số \(y=x^3-3\left(2m+1\right)x^2+\left(12m+5\right)x+2\).
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) thì giá trị của $m$ là
\(-\frac{1}{\sqrt{6}}\le m\le\frac{1}{\sqrt{6}}\). \(m>\frac{1}{2}\). \(m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\). \(m\le\dfrac{5}{12}\). Hướng dẫn giải:\(y'=3x^2-6\left(2m+1\right)x+12m+5\)
\(\Delta'=\left[3\left(2m+1\right)\right]^2-3\left(12m+5\right)=36m^2-6\)
TH1: \(\Delta'\le0\Leftrightarrow\frac{-1}{\sqrt{6}}\le m\le\frac{1}{\sqrt{6}}\)
Khi đó \(y'>0\) với \(\forall x\) . Vậy thì hàm số $y$ sẽ đồng biến trên \(\left(2;+\infty\right)\)
TH2: \(\Delta'>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\\m>\frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right.\)
Khi đó $y'$ có hai nghiệm là \(x_1=\frac{-\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\) \(< x_2=\frac{\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\)
Ta có bảng xét dấu:
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) thì \(x_2\le2\Rightarrow\)\(\frac{\sqrt{36m^2-6}+3\left(2m+1\right)}{3}\le2\)
\(\Rightarrow\sqrt{36m^2-6}\le-6m+3\) , dễ thấy \(-6m+3\ge0\), hay \(m\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow36m^2-6\le36m^2-36m+9\Rightarrow m\le\frac{5}{12}.\)
Kết hợp với điều kiện đang xét ta suy ra \(\left[{}\begin{matrix}m< -\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}< m\le\frac{5}{12}\end{matrix}\right.\).
Kết hợp hai TH ta suy ra \(m\le\frac{5}{12}.\)