Cho \(A\left(0;0;1\right),B\left(-1;-2;0\right),C\left(2;1;-1\right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) là:
\(\begin{cases}x=\frac{1}{3}-5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}+5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}+5t\\y=-\frac{1}{3}+4t\\z=3t\end{cases}\) \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}-5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=-3t\end{cases}\) Hướng dẫn giải:Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là \(x=\frac{0-1+2}{3}=\frac{1}{3};y=\frac{1-2+1}{3}=-\frac{1}{3};z=\frac{1+0-1}{3}=0.\) Có \(G\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};0\right)\),
Ta có \(\overrightarrow{AB}\left(-1;-2;-1\right),\overrightarrow{AC}\left(2;1;-2\right)\); \(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(5;-4;3\right)\).
Đường thẳng \(d\) qua điểm \(G\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};0\right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(5;-4;-3\right)\) nên có phương trình là \(\begin{cases}x=\frac{1}{3}-5t\\y=-\frac{1}{3}-4t\\z=3t\end{cases}\)