Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2\left(1-x\right)\).
Quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) được hình có thể tích bằng \(\frac{4\pi}{3}\). \(\pi\). \(\frac{\pi}{2}\). \(\frac{2\pi}{3}\). Hướng dẫn giải:Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình sau:
\(2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-x\ge0\\1-x^2=\left(1-x\right)^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\\left(1-x\right)\left[\left(1+x\right)-\left(1-x\right)\right]=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le1\\\left(1-x\right)2x=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\end{array}\right.\)
Vậy thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị trên quanh trục Ox là:
\(V=\pi\int\limits^1_0\left|\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2-\left[2\left(1-x\right)\right]^2\right|\text{d}x\)
\(=4\pi\int\limits^1_0\left|\left(1-x^2\right)-\left(1-2x+x^2\right)\right|\text{d}x\)
\(=4\pi\int\limits^1_0\left(2x-2x^2\right)\text{d}x\)
\(=8\pi\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\bigg|^1_0\)
\(=\frac{4\pi}{3}\).