Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Góc \(\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\frac{\pi}{3};R>0\right)\)
Gọi H là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox. Thể tích của H bằng
\(\frac{\pi R^2}{4}\sin2\alpha\). \(\pi R^3\left(\cos\alpha-\cos^3\alpha\right)\). \(\frac{\pi R^3}{3}\left(\cos\alpha-\cos^3\alpha\right)\). \(\frac{\pi R^3}{3}\left(\sin\alpha-\sin^3\alpha\right)\). Hướng dẫn giải:Đường thẳng OM đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc là \(\frac{MP}{OP}=\tan\alpha\) => Phương trình đường thẳng OM là:
\(y=\tan\alpha.x\)
Hình H tạo bởi quay hình phẳng giới hạn bởi đưởng thẳng OM, x = 0; \(x=R.\cos\alpha\) (vì \(OP=R.\cos\alpha\)) quanh trục Ox.
Thể tích hình H là:
\(V=\pi\int\limits^{R.\cos\alpha}_0\tan^2\alpha.x^2\text{d}x\)
\(=\pi\tan^2\alpha.\frac{x^3}{3}|^{R\cos\alpha}_0\)
\(=\frac{\pi.\tan^2\alpha}{3}.R^3\cos^3\alpha\)
\(=\frac{\pi R^3}{3}\left(\cos\alpha-\cos^3\alpha\right)\).