Một cấp số cộng có \(S_m=n;S_n=m\left(m>n\right)\). Tinh tổng \(S_{m+n}\).
\(S_{m+n}=m+n\).\(S_{m+n}=-m-n\).\(S_{m+n}=m-n\).\(S_{m+n}=n-m\).Hướng dẫn giải:Bài toán cho \(S_n=\dfrac{2u_1+\left(n-1\right)d}{2}.n=m\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2u_1+\left(n-1\right)d=\dfrac{2m}{n}\\2u_1+\left(m-1\right)d=\dfrac{2n}{m}\end{cases}\)
Giải hệ phương trình trên tính được
\(\begin{cases}d=\dfrac{-2\left(m+n\right)}{m.n}\\u_1=\dfrac{m^2+n^2+mn-m-n}{m.n}\end{cases}\)
Vậy \(S_{m+n}=\dfrac{\left[2u_1+\left(m+n-1\right)d\right]\left(m+n\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left[\dfrac{2\left(m^2+n^2+mn-m-n\right)}{mn}-\dfrac{2\left(m+n-1\right)\left(m+n\right)}{mn}\right]\left(m+n\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(m^2+n^2+mn-m-n-\left(m+n\right)^2+m+n\right)}{mn}\left(m+n\right)\)
\(=-\left(m+n\right)\)