Ba số dương a, b, c làm thành 1 cấp số cộng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
\(\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}};\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}};\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) lập thành một cấp số cộng.\(a^2+2bc=c^2+2ab\).\(a^2+8bc=\left(ab+c\right)^2\).\(\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{c+a};\dfrac{1}{a+b}\) lập thành 1 cấp số cộng.Hướng dẫn giải:* a, b, c lập thành một cấp số cộng :
=> \(a+c=2b;b-a=c-b=d;c-a=2d\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d};\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d};\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d};\)
và \(\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{d}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{d}=2\left(\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{2d}\right)\)
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) lập thành cấp số cộng.
* Ta biến đối:
\(a^2+2bc=a^2+2\frac{\left(a+c\right)}{2}c=a^2+ac+c^2=a\left(a+c\right)+c^2=2ab+c^2\),
=> \(a^2+2bc=c^2+2ab\)
* Ta biến đổi:
\(a^2+8bc=a^2+8\frac{a+c}{2}c=a^2+4ac+4c^2=\left(a+2c\right)^2=\left(2b-c+2c\right)^2=\left(2b+c\right)^2\).
* \(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b}\) không phải là cấp số cộng, ví dụ lấy (a, b, c) = (2, 4, 6) là cấp số cộng nhưng
\(\left(\frac{1}{4+6};\frac{1}{2+6};\frac{1}{2+4}\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{1}{8};\frac{1}{6}\right)\) không phải là cấp số cộng vì \(\frac{1}{8}\ne\frac{1}{2}\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{6}\right)\)