Tích phân \(\int\limits^1_0\left(x^2-2x-1\right)e^{-x}\text{d}x\) bằng
\(1\). \(-1\). \(e\). \(\dfrac{1}{e}\). Hướng dẫn giải:Cách 1: Bấm máy tính tính tích phân đã cho ta được kết quả là \(-1.\)
Cách 2 (biến đổi vi phân và tích phân từng phần):
\(\int\left(x^2-2x-1\right)e^{-x}\text{d}x=\int\left(x^2-2x-1\right)\text{d}\left(-e^{-x}\right)=-e^{-x}\left(x^2-2x-1\right)-\int\left(-e^{-x}\right)\text{d}\left(x^2-2x-1\right)\) \(=e^{-x}\left(-x^2+2x+1\right)+\int e^{-x}\left(2x-2\right)\text{d}x=e^{-x}\left(-x^2+2x+1\right)+\int\left(2x-2\right)\text{d}\left(-e^{-x}\right)\)\(=e^{-x}\left(-x^2+2x+1\right)+\left(-e^{-x}\right)\left(2x-2\right)-\int\left(-e^{-x}\right)\text{d}\left(2x-2\right)=e^{-x}\left(-x^2+3\right)+2\int e^{-x}\text{d}x\)\(=e^{-x}\left(-x^2+1\right)+C\)
Do đó \(I=e^{-x}\left(-x^2+1\right)|^1_0=-1\).