Tích phân \(\int\limits^{\frac{a}{2}}_0\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x\) (với \(a>0\)) bằng
\(\dfrac{a}{2}\). \(\dfrac{a}{3}\). \(\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{\pi}{6}\). Hướng dẫn giải:Do miền lấy tích phân là \(\left[0;\dfrac{a}{2}\right]\) nên biểu thức dưới dấu tích phân có nghĩa.
Đặt \(x=a.\sin t\) (để làm mất căn thức) thì \(\text{d}x=a\cos t.\text{d}t\), \(\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=a\left|\cos t\right|\).
Đổi cận: \(x|^{\frac{a}{2}}_0\Rightarrow t|^{\frac{\pi}{6}}_0\)
Suy ra \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\frac{\cos t\text{d}t}{\left|\cos t\right|}=\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\frac{\cos t}{\cos t}\text{d}t=\int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0\text{d}t=t|^{\frac{\pi}{6}}_0=\frac{\pi}{6}\).