Trong hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với điểm \(A\left(1;-1;1\right)\) và hai đường trung tuyến lần lượt là:
\(\left(\Delta_1\right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{-2}\) và \(\left(\Delta_2\right):\begin{cases}x=1-t\\y=0\\z=1+t\end{cases}\). Tìm tọa độ điểm B và điểm C của tam giác.
Cách 1: Trọng tâm \(G=\Delta_1\cap\Delta_2\) và có tọa độ thỏa mãn
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t;y=0;z=1+t\\\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z-2}{-2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-t;y=0;z=1+t\\\frac{1-t}{2}=\frac{0-1}{-3}=\frac{1+t-2}{-2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-t;y=0;z=1+t\\t=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right).\)
Dễ dàng kiểm tra thấy \(A\notin\Delta_1;A\notin\Delta_2\) nên đường thẳng \(AG\)là trung tuyến thứ ba của tam giác \(ABC\), vì thế \(A\left(1;-1;1\right),G\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)\) phải thẳng hàng với trung điểm \(M\) của \(BC,\)tức là phải có \(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AG}\right]=\overrightarrow{0}\).
- Nếu \(B\left(0;0;1\right),C\left(1;1;1\right)\) thì \(M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right),\overrightarrow{AM}\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2};0\right),\overrightarrow{AG}\left(-\frac{1}{3};1;\frac{1}{3}\right),\)\(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AG}\right]=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{9};\frac{1}{6}\right)\ne\overrightarrow{0}\), loại.
- Nếu \(B\left(1;0;1\right),C\left(1;2;1\right)\) thì \(M\left(1;1;1\right),\overrightarrow{AM}\left(0;2;0\right),\overrightarrow{AG}\left(-\frac{1}{3};1;\frac{1}{3}\right),\)\(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AG}\right]=\left(\frac{2}{3};0;\frac{2}{3}\right)\ne\overrightarrow{0}\), loại.
- Nếu \(B\left(1;2;3\right),C\left(1;1;1\right)\) thì \(M\left(1;\frac{3}{2};2\right),\overrightarrow{AM}\left(0;\frac{5}{2};0\right),\overrightarrow{AG}\left(-\frac{1}{3};1;\frac{1}{3}\right),\)\(\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AG}\right]=\left(\frac{5}{6};0;\frac{5}{6}\right)\ne\overrightarrow{0}\), loại.
Đáp số đúng chỉ có thể là \(B\left(0;1;2\right),C\left(1;0;1\right)\).
Cách 2: Dễ dàng kiểm tra thấy \(A\notin\Delta_1;A\notin\Delta_2\).
Gọi \(M\in\Delta_1,N\in\Delta_2\) lần lượt là trung điểm của AB , AC.
\(N\left(1-t;0;1+t\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\left(1-t-1;0+1;1+t-1\right)=\left(-t;1;t\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AN}\) \(\Rightarrow\left(x_B-1;y_B+1;z_B-1\right)=2\left(-t;1;t\right)\)
\(\Rightarrow B\left(1-2t;1;1+2t\right)\)
Do \(B\in\Delta_1\) => \(\frac{1-2t}{2}=\frac{1-1}{-3}=\frac{1+2t-2}{-2}\)
\(\Rightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow B\left(0;1;2\right).\)
Tương tự, ta tìm được tọa độ C như sau:
Vì \(M\in\Delta_1\) nên \(\frac{x_M}{2}=\frac{y_M-1}{-3}=\frac{z_M-2}{-2}=k\) (chú ý đặt tỉ lệ này là k để không trùng với t trong phương trình tham số của \(\Delta_2\))
\(\Rightarrow M\left(2k;1-3k;2-2k\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(2k-1;1-3k+1;2-2k-1\right)=\left(2k-1;2-3k;1-2k\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow\left(x_C-1;y_C+1;z_C-1\right)=2\left(2k-1;2-3k;1-2k\right)\)
\(\Rightarrow C\left(4k-1;3-6k;3-4k\right)\)
\(C\in\Delta_2\Rightarrow\begin{cases}4k-1=1-t\\3-6k=0\\3-4k=1+t\end{cases}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\Rightarrow C\left(1;0;1\right).\)