Cho đường thẳng d: \(\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{-1}\) và điểm \(M\left(4;-3;2\right)\) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc \(H\) của M lên đường thẳng d.
\(\left(-5;-4;1\right)\).\(\left(1;0;-1\right)\).\(\left(4;2;-2\right)\).\(\left(0;0;1\right)\).Hướng dẫn giải:Đặt \(t=\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}\) ta chuyển được phương trình đường thẳng d sang dạng tham số:
\(\begin{cases}x=3t-2\\y=2t-2\\z=-t\end{cases}\)
\(H\) thuộc đường thẳng d nên \(H\) có tọa độ \(\left(3t-2;2t-2;-t\right)\). Do đó
\(\overrightarrow{MH}\left(3t-6;2t+1;-t-2\right)\)
Do \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên d nên \(\overrightarrow{MH}\) vuông góc với vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(3;2-1\right)\) của d , suy ra:
\(\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0\) \(\Leftrightarrow3\left(3t-6\right)+2\left(2t+1\right)-1\left(-t-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow t=1\).
Vậy \(H\) có tọa độ \(\left(1;0;-1\right)\).
