Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc \(H\) của điểm \(M\left(1;-1;2\right)\) trên mặt phẳng \(\left(P\right):2x-y+2z+12=0.\)
\(\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\) \(\left(1,2,-6\right)\) \(\left(0;0;-6\right)\) \(\left(-6;0;0\right)\) Hướng dẫn giải:Cách 1: \(\left(P\right):2x-y+2z+12=0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(2;-1;2\right)\).
Điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left(P\right)\) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thực hiện:
(i) \(H\in\left(P\right)\) : Tọa độ \(H\) thỏa mãn phương trình \(\left(P\right)\).
(ii) \(\overrightarrow{MH}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n}\) : tọa độ của \(\overrightarrow{MH}\) tỉ lệ với tọa độ của \(\overrightarrow{n}\).
Dễ thấy cả 4 đáp số đã nêu đều thỏa mãn (i). Ta có bảng sau (chú ý \(M\left(1;-1;2\right)\), \(\overrightarrow{n}\left(2;-1;2\right)\))
Tọa độ \(H\) | Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{MH}\) | Kết luận |
\(\left(1,2,-6\right)\) | \(\left(0;3;-8\right)\) | \(\left(0;3;-8\right)\) không tỉ lệ với \(\overrightarrow{n}\left(2;-1;2\right)\) |
\(\left(0;0;-6\right)\) | \(\left(-1;1;-8\right)\) | \(\left(-1;1;-8\right)\) không tỉ lệ với \(\overrightarrow{n}\left(2;-1;2\right)\) |
\(\left(-6;0;0\right)\) | \(\left(-7;1;-2\right)\) | \(\left(-7;1;-2\right)\) không tỉ lệ với \(\overrightarrow{n}\left(2;-1;2\right)\) |
\(\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\) | \(\left(-\frac{38}{9};\frac{19}{9};-\frac{38}{9}\right)\) | \(\left(-\frac{38}{9};\frac{19}{9};-\frac{38}{9}\right)=-\frac{19}{9}\overrightarrow{n}\) |
Đáp số đúng là: \(\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\)
Cách 2: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left(1;-1;2\right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left(P\right):2x-y+2z+12=0\) là:
\(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1-t\\z=2+2t\end{cases}\)
Tọa độ của \(H\) thỏa mãn hệ :
\(\begin{cases}x=1+2t\\y=-1-t\\z=2+2t\\2x-y+2z+12=0\end{cases}\) \(\Rightarrow t=-\frac{19}{9}\Rightarrow\)\(\begin{cases}x=-\frac{29}{9}\\y=\frac{10}{9}\\z=-\frac{20}{9}\end{cases}\)
Vậy: \(H\left(\frac{-29}{9};\frac{10}{9};\frac{-20}{9}\right)\)