Cho chóp có đáy là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\) . Các cạnh bên tạo với đáy góc \(60^o\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
\(\frac{54\pi a^3}{8\sqrt{2}}\) \(\frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}\) \(\frac{32\pi a^3}{8\sqrt{3}}\) \(\frac{57\pi a^3}{8\sqrt{2}}\) Hướng dẫn giải:
Gọi khối chóp là SABC, O là tâm tam giác ABC. Khi đó theo đề bài, \(SO\perp\left(ABC\right)\) và \(\widehat{SAO}=60^o.\)
Do tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt{3}\) nên \(AO=a.\) Khi đó \(SO=tan60^o.a=a\sqrt{3}\)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp. Do tam giác ABC đều và \(SO\perp\left(ABC\right)\) nên \(I\in SO.\)
Gọi SI = x, khi đó IA = x. Vậy thì: \(x^2=a^2+\left(a\sqrt{3}-x\right)^2\Rightarrow x^2=a^2+3a^2-2\sqrt{3}ax+x^2\)
\(\Rightarrow2\sqrt{3}ax=4a^2\Rightarrow x=\frac{2a}{\sqrt{3}}\).
Do x chính là độ dài bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABC nên thể tích khối cầu là:
\(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{32\pi a^3}{9\sqrt{3}}\)