Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left(1;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)\) , trong đó \(b,c>0\)
và cho mặt phẳng \(\left(P\right):y-z+1=0\).
Xác đinh \(b,c\) để mp\(\left(ABC\right)\) vuông góc với \(\left(P\right)\) và khoảng cách từ \(O\) đến mp\(\left(ABC\right)\) bằng \(\frac{1}{3}.\)
Phương trình (dạng chắn) của mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) là \(\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)\(\Leftrightarrow bcx+cy+bz-bc=0.\) Mặt phẳng này có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(bc;c;b\right)\). Mặt phẳng \(\left(P\right):y-z+1=0\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}=\left(0;1;-1\right).\) Hai mặt phẳng sẽ vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=0\Leftrightarrow bc.0+c.1+b.\left(-1\right)=0\Leftrightarrow c=b.\) Do đó mp\(\left(ABC\right)\) có phương trình \(bx+y+z-b=0.\) Khoảng cách từ \(O\) đến mp\(\left(ABC\right)\) là \(\frac{\left|-b\right|}{\sqrt{b^2+1^2+1^2}}=\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}\) (do giả thiết \(b>0\)). Khoảng cách này sẽ bằng \(\frac{1}{3}\) khi và chỉ khi
\(\frac{b}{\sqrt{b^2+2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow9b^2=b^2+2\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}.\)
Vậy \(c=b=\frac{1}{2}.\)