\(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}\text{d}x=\)
\(\frac{-4x+1}{12\left(x+1\right)^4}+C\). \(-\frac{1}{6\left(x+1\right)^6}+C\). \(\frac{x}{5\left(x+1\right)^5}+C\). \(\frac{-4x-1}{12\left(x+1\right)^4}+C\). Hướng dẫn giải:Cách 1: Dùng MTCT tính \(\dfrac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\dfrac{-4x+1}{12\left(x+1\right)^4}\right)|_{x=1}-\dfrac{1}{32}\) (trong đó \(\dfrac{1}{32}\) là giá trị của hàm số \(\dfrac{x}{\left(x+1\right)^5}\) tại \(x=1\)), máy hiện kết quả khác \(0\), suy ra đáp số \(\int\dfrac{x}{\left(x+1\right)^5}=\dfrac{-4x+1}{12\left(x+1\right)^4}+C\) sai. Tương tự, kiểm tra ba đáp số còn lại (nhớ phải kiểm tra cả ba đáp số) sẽ có hai đáp số cho kết quả khác \(0\) thì bị loại, đáp số còn lại là đáp số đúng.
Cách 2 (khai triển và biến đổi vi phân): \(\int\frac{x}{\left(x+1\right)^5}\text{d}x=\int\frac{x+1-1}{\left(x+1\right)^5}\text{d}x=\int\frac{1}{\left(x+1\right)^4}\text{d}x-\int\frac{1}{\left(x+1\right)^5}\text{d}x\)
\(=\int\left(x+1\right)^{-4}\text{d}\left(x+1\right)-\int\left(x+1\right)^{-5}\text{d}\left(x+1\right)\)
\(=\frac{1}{-4+1}\left(x+1\right)^{-4+1}-\frac{1}{-5+1}\left(x+1\right)^{-5+1}+C\)
\(=-\dfrac{1}{3}\left(x+1\right)^{-3}+\dfrac{1}{4}\left(x+1\right)^{-4}+C\)
\(=-\dfrac{1}{3\left(x+1\right)^3}+\dfrac{1}{4\left(x+1\right)^4}+C\)
\(=\dfrac{-4x-1}{12\left(x+1\right)^4}+C\).