Cho tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH . Thể tích hình cầu tạo bởi đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi quanh AH là:
\(V=\frac{\sqrt{5}\pi a^3}{54}\) \(V=\frac{\sqrt{5}\pi a^3}{27}\) \(V=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{27}\) \(V=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{54}\) Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có O là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Bán kính khối tròn nội tiếp khi quay quanh AH là OF.
BC = \(\frac{a}{2}\)
\(CH=\sqrt{CB^2-HB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\Rightarrow CO=\frac{2}{3}CH=\frac{a}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(OF=\sqrt{OC^2-CB^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^3=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{54}\)