Cho mặt phẳng (P) cắt hình cầu tâm O theo giao tuyến là đường tròn bán kính 2cm. Biết khoảng cách từ tâm O tới mặt phẳng (P) là 1 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình cầu.
\(S=20\pi\left(cm^2\right);V=\frac{20\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=12\pi\left(cm^2\right);V=\frac{4}{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=12\pi\left(cm^2\right);V=4\sqrt{3}\pi\left(cm^3\right)\) \(S=20\pi\left(cm^2\right);V=\frac{16\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\) Hướng dẫn giải:
Gọi đường kính bất kỳ của đường tròn là giao của mặt phẳng (P) với hình cầu là E và F. Gọi H là trung điểm EF thì ta thấy ngay \(AH\perp\left(P\right)\) và AH là d(A; (P)) = 1cm.
Theo định lý Pi-ta-go: \(AF^2=AH^2+HF^2=1+2^2=5\Rightarrow AF=\sqrt{5}cm.\)
Ta thấy ngày AF là bán kính hình cầu, vậy :
\(S=4\pi R^2=20\pi\left(cm^2\right)\)
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{20\sqrt{5}}{3}\pi\left(cm^3\right)\)