Cho \(A\left(1;1;3\right),B\left(-1;3;2\right),C\left(-1;2;3\right)\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) tới mp\(\left(ABC\right)\) bằng bao nhiêu?
\(3\) \(\frac{21}{\sqrt{41}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{3}{2}\) Hướng dẫn giải:\(\left(ABC\right)\) đi qua \(A\left(1;1;3\right)\) và có vecto pháp tuyến là: \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\) .
Ta có:
\(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left[\left(-1-1;3-1;2-3\right),\left(-1-1;2-1;3-3\right)\right]\)
\(=\left[\left(-2;2;-1\right),\left(-2;1;0\right)\right]\)
\(=\left(\left|\begin{matrix}2&-1\\1&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-1&-2\\0&-2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-2&2\\-2&1\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(1;2;2\right)\)
Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) có phương trình là:
\(1.\left(x-1\right)+2\left(y-1\right)+2\left(z-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow x+2y+2z-9=0\)
Khoảng cách từ \(O\left(0;0;0\right)\) đến \(\left(ABC\right)\) bằng:
\(\dfrac{\left|0+2.0+2.0-9\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3\)