Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -2; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng:
x - 3y + 2z -1 = 0 ( Q) và 2x + y - z - 1 = 0 (R).
\(\left(P\right)\perp\left(Q\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\perp\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\)
\(\left(P\right)\perp\left(R\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{\cdot\left(P\right)}}\perp\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}\)
Vậy VTPT của P:
\(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}},\overrightarrow{n_{\left(R\right)}}\right]\)
\(=\left[\left(1;-3;2\right),\left(2;1;-1\right)\right]\)
\(=\left[\left|\begin{matrix}-3&2\\1&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\-1&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right|\right]\)
\(=\left(1;5;7\right)\)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;3;1) và có vecto pháp tuyến (1;5;7) nên có dạng:
1(x + 2 ) + 5(y - 3 ) + 7(z-1) = 0
hay x + 5y +7z -20 = 0.